ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) ২৫৬
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে (BCS, Bank, Primary, NTRCA) গণিত ও সাধারণ জ্ঞানের অংশে ধারাবাহিক সংখ্যার যোগফল সম্পর্কিত প্রশ্ন প্রায়ই আসে। এমন প্রশ্নের সমাধান দ্রুত ও নির্ভুলভাবে করার জন্য ধারার সূত্র প্রয়োগ করা জরুরি।
**সমাধান প্রক্রিয়া:**
প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১ + ৩ + ৫ + ………. + ৩১
এটি একটি **বিজোড় সংখ্যার ধারা**, যেখানে প্রথম পদ (a₁) = ১, সাধারণ অন্তর (d) = ২, এবং শেষ পদ (aₙ) = ৩১।
**ধারার সূত্র প্রয়োগ:**
ধারাটির n সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয়ের সূত্র:
Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
এখানে, aₙ = a₁ + (n–1)d
=> ৩১ = ১ + (n–1)×২
=> ৩০ = (n–1)×২
=> n–1 = ১৫
=> n = ১৬
এখন যোগফল:
S₁৬ = ১৬/২ × (১ + ৩১) = ৮ × ৩২ = ২৫৬
**বিজোড় সংখ্যার ধারার বৈশিষ্ট্য:**
— বিজোড় সংখ্যার ধারার যোগফল সর্বদা একটি **পূর্ণবর্গ সংখ্যা** হয়।
— এখানে যোগফল ২৫৬ = ১৬², যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ২৫৮: ধারার পদ সংখ্যা ভুল গণনা করলে এই ফলাফল আসতে পারে। যেমন, n = ১৫ ধরে নিলে যোগফল হবে ১৫/২ × (১ + ২৯) = ২২৫, যা ভুল।
✗ গ) ২৫৪: ধারার শেষ পদ ভুল ধরে নিলে (যেমন ২৯ ধরে) এই ফলাফল আসতে পারে।
✗ ঘ) ২৫২: ধারার পদ সংখ্যা ভুল গণনা করলে (যেমন n = ১৪ ধরে) এই ফলাফল আসতে পারে।
**উৎস:**
— গণিতের ধারা অধ্যায় (৯ম-১০ম শ্রেণি, NCTB)
— বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (২০১০-২০২৩)
— Bank Recruitment Exam Math Guide (গ্রন্থনা: এমপিও প্রকাশনী)