১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা সমূহের যোগফল কত?

সঠিক উত্তর: (গ) ৫০৫০ **ভূমিকা:** গণিতের একটি মৌলিক সূত্র হলো ধারার যোগফল নির্ণয়। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ধারার যোগফল নির্ণয় করার জন্য একটি সুপরিচিত সূত্র রয়েছে, যা পরীক্ষায় প্রায়শই আসে। এই সূত্রটি জানা থাকলে দ্রুত এবং নির্ভুলভাবে উত্তর দেওয়া যায়। **ধারার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — **ধারার যোগফল সূত্র:** ধারার প্রথম পদ (a₁) = ১, শেষ পদ (aₙ) = ১০০, পদসংখ্যা (n) = ১০০। সূত্র: **S = n/2 × (a₁ + aₙ)** এখানে, S = ধারার যোগফল, n = পদসংখ্যা, a₁ = প্রথম পদ, aₙ = শেষ পদ। — **উদাহরণ প্রয়োগ:** S = ১০০/২ × (১ + ১০০) S = ৫০ × ১০১ S = ৫০৫০ — **গাউসের পদ্ধতি:** গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস (Carl Friedrich Gauss) শৈশবে এই সূত্র আবিষ্কার করেছিলেন। তিনি ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয় করতে প্রথম ও শেষ সংখ্যা যোগ করে (১ + ১০০ = ১০১), তারপর দ্বিতীয় ও দ্বিতীয় শেষ সংখ্যা যোগ করে (২ + ৯৯ = ১০১) দেখেন যে প্রতিটি জোড়ার যোগফল সমান। এভাবে মোট ৫০টি জোড়া পাওয়া যায়, তাই যোগফল = ৫০ × ১০১ = ৫০৫০। — **গাণিতিক প্রমাণ:** ধারাটিকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়: ১ + ২ + ৩ + ... + ৫০ + ৫১ + ... + ৯৯ + ১০০ প্রথম অংশ: ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত যোগফল = ৫০×৫১/২ = ১২৭৫ দ্বিতীয় অংশ: ৫১ থেকে ১০০ পর্যন্ত যোগফল = (৫০×১৫১)/২ = ৩৭৭৫ মোট যোগফল = ১২৭৫ + ৩৭৭৫ = ৫০৫০ **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ (ক) ৪৯৯৯: এটি ধারার যোগফলের সূত্র প্রয়োগ না করে ভুল হিসাব করলে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত যোগ করলে ভুলবশত ৪৯৯৯ পাওয়া যেতে পারে। ✗ (খ) ৫৫০১: এটি ধারার যোগফলের সূত্রে ভুল প্রয়োগের ফলে পাওয়া যায়। যেমন, n/2 × (a₁ + aₙ) এর পরিবর্তে n × (a₁ + aₙ) ব্যবহার করলে এই ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। ✗ (ঘ) ৫০০১: এটি ধারার যোগফলের সূত্রে সামান্য ভুল হিসাবের ফলে পাওয়া যায়। যেমন, n/2 × (a₁ + aₙ) এর পরিবর্তে n × (a₁ + aₙ)/2 ব্যবহার করলে এই ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। **উৎস:** — গণিতের মৌলিক সূত্র ও ধারার যোগফল সম্পর্কিত বিভিন্ন শিক্ষামূলক বই। — BCS প্রিলিমিনারি পরীক্ষার সাধারণ জ্ঞান অংশের প্রশ্নব্যাংক। — প্রাথমিক গণিত শিক্ষার পাঠ্যপুস্তক।