০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + …….. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সঠিক উত্তর: (ক) 8/৩৩ <অসীম ধারা সম্পর্কিত একটি সাধারণ ভূমিকা> অসীম ধারা হলো এমন একটি ধারা যেখানে পদ সংখ্যা অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে। অসীম ধারার যোগফল নির্ণয় করতে হলে সাধারণত ধারাটি কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত তা চিহ্নিত করতে হয়। যদি ধারাটি একটি ক্রমিক অনুপাতিক ধারা (Geometric Series) হয়, তাহলে তার যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের জন্য ধারাটির সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করে নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করা হয়। <অসীম ধারা সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য> — অসীম ধারা দুই প্রকার: অভিসারী (Convergent) ও অপসারী (Divergent)। অভিসারী ধারার যোগফল একটি নির্দিষ্ট মান থাকে, যেখানে অপসারী ধারার যোগফল অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত হয়। — ক্রমিক অনুপাতিক ধারার সাধারণ রূপ হলো: a + ar + ar² + ar³ + ... যেখানে a হলো প্রথম পদ এবং r হলো সাধারণ অনুপাত। — ক্রমিক অনুপাতিক ধারার যোগফলের সূত্র হলো: S = a / (1 - r), যেখানে |r| < 1। — যদি |r| ≥ 1 হয়, তাহলে ধারাটির যোগফল অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত হয়। <প্রদত্ত ধারাটি বিশ্লেষণ> প্রদত্ত ধারাটি হলো: ০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + …….. — ধারাটির প্রথম পদ (a) = ০.১২ — দ্বিতীয় পদ = ০.০০১২ — সাধারণ অনুপাত (r) = দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ = ০.০০১২ / ০.১২ = ০.০১ — যেহেতু |r| = ০.০১ < 1, তাই ধারাটির যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব। <যোগফল নির্ণয়> ধারাটির যোগফল (S) = a / (1 - r) = ০.১২ / (1 - ০.০১) = ০.১২ / ০.৯৯ = ১২ / ৯৯ = ৪ / ৩৩ = ৮ / ৬৬ = ৮ / ৩৩ <বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ> ✗ খ) ৪/৯৯: এই মানটি ধারাটির যোগফলের অর্ধেক। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সময় ভুলবশত ০.১২ কে ০.০৬ ধরে হিসাব করলে এই মান পাওয়া যায়। ✗ গ) ১১২/৯৯: এই মানটি ধারাটির যোগফলের তুলনায় অনেক বেশি। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সময় সাধারণ অনুপাত নির্ণয়ে ভুল করলে এই মান পাওয়া যায়। ✗ ঘ) ১৪/৯৯: এই মানটি ধারাটির যোগফলের তুলনায় বেশি। ধারাটির যোগফল নির্ণয়ের সময় সাধারণ অনুপাত নির্ণয়ে ভুল করলে এই মান পাওয়া যায়। উৎস: — গণিতের উচ্চ মাধ্যমিক পাঠ্যপুস্তক (অসীম ধারা অধ্যায়) — BCS সাধারণ জ্ঞান গাইড (২০২৩ সংস্করণ) — Bank Job Math Guide (NTRCA প্রস্তুতি)