ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ক) ৯তম পদ
**ভূমিকা:**
সাধারণ জ্ঞান ও গণিতের ধারাবাহিকতা বিষয়ক প্রশ্নগুলি প্রায়ই বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষায় (BCS, Bank, Primary, NTRCA) দেখা যায়। ধারার পদ নির্ণয় সংক্রান্ত সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য সাধারণত ধারার সাধারণ পদ (General Term) নির্ণয় করে নির্দিষ্ট পদটি বের করা হয়। উপরের প্রশ্নটি একটি জ্যামিতিক ধারা (Geometric Series) সংক্রান্ত।
---
**ধারাটি সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— ধারাটির প্রথম পদ \( a = \frac{1}{\sqrt{2}} \)।
— দ্বিতীয় পদ \( = 1 \)।
— তৃতীয় পদ \( = \sqrt{2} \)।
— ধারাটির সাধারণ অনুপাত (Common Ratio) নির্ণয়:
\( r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} \)।
— ধারাটির সাধারণ পদ (General Term) নির্ণয়:
\( n \)-তম পদ \( = a \cdot r^{n-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\sqrt{2})^{n-1} \)।
— প্রদত্ত ধারার \( n \)-তম পদ \( = 8\sqrt{2} \)।
সুতরাং,
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \)।
উভয় পক্ষকে \( \sqrt{2} \) দ্বারা গুণ করলে:
\( (\sqrt{2})^{n-1} = 8 \cdot 2 = 16 \)।
\( (\sqrt{2})^{n-1} = 2^4 \)।
\( (2^{1/2})^{n-1} = 2^4 \)।
\( 2^{\frac{n-1}{2}} = 2^4 \)।
সুতরাং, \( \frac{n-1}{2} = 4 \)।
\( n-1 = 8 \)।
\( n = 9 \)।
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ খ) ১০ তম পদ: ধারাটির সাধারণ পদ সূত্র প্রয়োগ করলে দেখা যায় ১০ তম পদ \( 16 \) হবে, \( 8\sqrt{2} \) নয়।
✗ গ) ১১ তম পদ: ১১ তম পদ \( 16\sqrt{2} \) হবে, যা প্রদত্ত মান \( 8\sqrt{2} \) থেকে বেশি।
✗ ঘ) ১২ তম পদ: ১২ তম পদ \( 32 \) হবে, যা প্রদত্ত মান থেকে অনেক বেশি।
---
**উৎস:**
- গণিতের জ্যামিতিক ধারা সম্পর্কিত অধ্যায় (উচ্চ মাধ্যমিক গণিত, বিসিএস প্রস্তুতি বই)
- সাধারণ জ্ঞান ও গণিত বিষয়ক প্রশ্নব্যাংক (BCS Preliminary, Bank Recruitment Exam)