ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) ২২
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণ গণিত ও সংখ্যাতত্ত্ব সম্পর্কিত প্রশ্ন প্রায়শই আসে। এরূপ প্রশ্নের সমাধান করার জন্য সংখ্যার বিভাজ্যতা সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা থাকা প্রয়োজন। এখানে ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে অবস্থিত সংখ্যাগুলোর মধ্যে কতটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য তা নির্ণয় করা হয়েছে।
---
**১২ ও ৯৬ এর মধ্যে অবস্থিত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— **প্রথম বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়:**
১২ নিজেই ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয় (১২ ÷ ৪ = ৩, কিন্তু ১২ কে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি কারণ প্রশ্নে "১২ ও ৯৬ এর মধ্যে" বলা হয়েছে, অর্থাৎ ১২ অন্তর্ভুক্ত নয়)। তাই প্রথম বিভাজ্য সংখ্যা হল **১৬** (১৬ ÷ ৪ = ৪)।
— **শেষ বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়:**
৯৬ নিজেই ৪ দ্বারা বিভাজ্য (৯৬ ÷ ৪ = ২৪)। তাই শেষ বিভাজ্য সংখ্যা হল **৯৬**।
— **গণিত সূত্র প্রয়োগ:**
বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো একটি সমান্তর ধারা:
১৬, ২০, ২৪, ..., ৯৬
এখানে প্রথম পদ (a) = ১৬, সাধারণ অন্তর (d) = ৪, শেষ পদ (l) = ৯৬।
— **ধারার পদসংখ্যা নির্ণয়:**
সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:
n = [(l - a) / d] + 1
= [(৯৬ - ১৬) / ৪] + ১
= (৮০ / ৪) + ১
= ২০ + ১
= ২১
**কিন্তু এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো:**
প্রশ্নে বলা হয়েছে **"১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এ দুটি সংখ্যাসহ)"**। এর অর্থ হলো ১২ এবং ৯৬ উভয় সংখ্যাই অন্তর্ভুক্ত।
তাই ধারার প্রথম পদ হবে ১২ (১২ ÷ ৪ = ৩, বিভাজ্য) এবং শেষ পদ হবে ৯৬ (৯৬ ÷ ৪ = ২৪, বিভাজ্য)।
পুনরায় সূত্র প্রয়োগ:
n = [(৯৬ - ১২) / ৪] + ১
= (৮৪ / ৪) + ১
= ২১ + ১
= ২২
সুতরাং মোট বিভাজ্য সংখ্যা **২২**।
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ **ক) ২১**: এটি ধারার পদসংখ্যা নির্ণয়ের সময় প্রথম পদ হিসেবে ১৬ ধরে করলে পাওয়া যায়। কিন্তু প্রশ্নে ১২ ও ৯৬ উভয়কে অন্তর্ভুক্ত করতে বলা হয়েছে বলে এটি ভুল।
✗ **খ) ২৩**: এটি ধারার পদসংখ্যা নির্ণয়ের সময় সাধারণ অন্তর ভুলভাবে প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়। এটি কোনোভাবেই সঠিক নয়।
✗ **গ) ২৪**: এটি ধারার পদসংখ্যা নির্ণয়ের সময় সাধারণ অন্তর হিসেবে ৩ ধরে করলে পাওয়া যায়। এটি বিভাজ্যতার নিয়মের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ।
---
**উৎস:**
- গণিতের সমান্তর ধারা সম্পর্কিত সূত্রাবলি (এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ম্যাথমেটিক্স)
- বাংলাদেশ সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রশ্নব্য