ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) -3
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণত গণিত ও সাধারণ জ্ঞান বিভাগে সমীকরণ সমাধানের প্রশ্ন আসে। এ ধরনের প্রশ্নের সমাধান করতে হলে সূচক ও মূলদ সংখ্যার ধারণা স্পষ্ট থাকা প্রয়োজন। উপরের প্রশ্নটি একটি সূচকীয় সমীকরণের সমাধান সম্পর্কিত, যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় বারবার আসতে দেখা যায়।
---
**সমীকরণটির বিস্তারিত সমাধান:**
প্রদত্ত সমীকরণ:
125^(√5^(2x)) = 1
ধাপ ১: সূত্র প্রয়োগ
যেকোনো সংখ্যার সূচক শূন্য হলে তার মান ১ হয়। অর্থাৎ, যদি a^b = 1 হয়, তাহলে দুটি সম্ভাবনা থাকে:
- a = 1 (যেকোনো সূচকের জন্য)
- b = 0 (a ≠ 0)
এখানে 125 ≠ 1, তাই দ্বিতীয় শর্তটি প্রযোজ্য হবে:
√5^(2x) = 0
ধাপ ২: সূচক বিশ্লেষণ
√5^(2x) = 0
√5 = 5^(1/2), তাই:
(5^(1/2))^(2x) = 0
5^(x) = 0
ধাপ ৩: সমাধান
5^x = 0
কিন্তু 5-এর যেকোনো সূচকের মান শূন্য হতে পারে না, কারণ 5^x > 0 সবসময়। তাই এই সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই বলে মনে হতে পারে। কিন্তু আসলে এখানে একটি সূক্ষ্ম বিষয় রয়েছে।
ধাপ ৪: বিকল্প পদ্ধতি
প্রদত্ত সমীকরণটি পুনরায় লেখা যেতে পারে:
(5^3)^(√5^(2x)) = 1
5^(3 * √5^(2x)) = 1
যেহেতু 5^0 = 1, তাই:
3 * √5^(2x) = 0
√5^(2x) = 0
এবার √5^(2x) = 0 সমাধান করতে হবে। যেহেতু √5 > 0, তাই √5^(2x) > 0 সবসময়। তাই সরাসরি সমাধান সম্ভব নয়।
ধাপ ৫: পুনর্বিবেচনা
প্রশ্নটি সম্ভবত ভিন্নভাবে লেখা হয়েছে। ধরে নেওয়া যাক প্রশ্নটি ছিল:
125^(√5)^(2x) = 1
অর্থাৎ, 125^(√5^(2x)) = 1 নয়, বরং (125^√5)^(2x) = 1
এবার সমাধান করা যাক:
(125^√5)^(2x) = 1
125^(√5 * 2x) = 1
যেহেতু 125 = 5^3, তাই:
(5^3)^(√5 * 2x) = 1
5^(3 * √5 * 2x) = 1
যেহেতু 5^0 = 1, তাই:
3 * √5 * 2x = 0
x = 0
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরগুলোতে x = 0 নেই। তাই প্রশ্নটি সম্ভবত অন্যরকম ছিল।
ধাপ ৬: সম্ভাব্য প্রকৃত প্রশ্ন
প্রশ্নটি সম্ভবত ছিল:
125^(√5^(2x)) = 1
এক্ষেত্রে সূচকের ধর্ম অনুযায়ী:
√5^(2x) = 0
কিন্তু √5^(2x) =