সঠিক উত্তর: (গ) ৯/২৫
<ভগ্নাংশের সূচক সম্পর্কিত সাধারণ গণিতের সমস্যা সমাধানের প্রয়োজনীয়তা>
**ভগ্নাংশের সূচক সম্পর্কিত সূত্র ও ধারণা:**
ভগ্নাংশের সূচক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সাধারণত দুই ধরনের সূত্র প্রয়োগ করা হয়:
1. ভগ্নাংশের সূচক ধনাত্মক হলে: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
2. ভগ্নাংশের সূচক ঋণাত্মক হলে: \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)
এছাড়া, ভগ্নাংশের সূচককে সরলীকরণের জন্য সূচকের সূত্রসমূহ যেমন:
- \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
- \( \left(\frac{a}{b}\right)^n \times \left(\frac{a}{b}\right)^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n+m} \)
- \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)
এই সূত্রগুলো প্রয়োগ করে প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করতে হবে।
**প্রদত্ত সমস্যাটির বিশ্লেষণ:**
প্রদত্ত সমস্যাটি হলো: \( \left(\frac{125}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} \)
এখানে ভগ্নাংশের সূচকটি ঋণাত্মক হওয়ায় সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হবে।
ধাপ ১: ঋণাত্মক সূচককে ধনাত্মক সূচকে রূপান্তর করা
\( \left(\frac{125}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{27}{125}\right)^{\frac{2}{3}} \)
ধাপ ২: ভগ্নাংশের সূচককে দুটি অংশে বিভক্ত করা
\( \left(\frac{27}{125}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{27}{125}\right)^{\frac{1}{3} \times 2} \)
= \( \left(\left(\frac{27}{125}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^2 \)
ধাপ ৩: সূচকের অংশটি সমাধান করা (ঘনমূল নির্ণয়)
\( \left(\frac{27}{125}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{27^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{5} \)
(যেহেতু \( 3^3 = 27 \) এবং \( 5^3 = 125 \))
ধাপ ৪: ফলাফলকে বর্গ করা
\( \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \)
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ১/২৫:
এটি ভুল কারণ সূচকের সূত্র প্রয়োগে ভুল হয়েছে। প্রদত্ত সমস্যাটির সমাধান থেকে এটি পাওয়া যায় না।
✗ খ) ৫/২০:
এটি সরলীকৃত ভগ্নাংশ হিসেবে উপস্থাপিত হলেও সূচকের সূত্র প্রয়োগে এটি আসে না। এটি আসলে \( \frac{1}{4} \), যা প্রদত্ত সমস্যাটির সমাধান নয়।
✗ ঘ) ৩/২০:
এটি প্রদত্ত সমস্যাটির সমাধান থেকে পাওয়া যায় না। সূচকের সূত্র প্রয়োগ করলে এটি আসে না।
**উৎস:**
- গণিতের সূচক ও ভগ্নাংশ সম্পর্কিত সূত্রাবলি (উচ্চ মাধ্যমিক গণিত বই, মাধ্যমিক ও উচ্চ মাধ্যমিক শিক্ষা