ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (গ) ৫
**ভূমিকা:**
জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন উপাদান যেমন ব্যাসার্ধ, জ্যা, কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব ইত্যাদি। সরকারি চাকরির পরীক্ষায় সাধারণত গণিতের প্রাথমিক অংশ থেকে প্রশ্ন আসে, যেখানে এই ধরনের জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান করতে হয়। উপরের প্রশ্নটি একটি আদর্শ উদাহরণ যেখানে বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও জ্যা-এর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে এবং কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
---
**বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য:**
— **ব্যাসার্ধ (Radius):** বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধির যে কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে। একে সাধারণত r দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
— **জ্যা (Chord):** বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দুকে সরলরেখা দ্বারা যুক্ত করলে তাকে জ্যা বলে। জ্যা-এর দৈর্ঘ্য বিভিন্ন হতে পারে, তবে ব্যাস হলো সবচেয়ে দীর্ঘ জ্যা।
— **কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব:** কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব বলে। এই দূরত্বকে সাধারণত d দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
— **সম্পর্ক:** ব্যাসার্ধ (r), জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য (l/2) এবং কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব (d) এর মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
**r² = d² + (l/2)²**
যেখানে l হলো জ্যা-এর দৈর্ঘ্য।
---
**প্রশ্নটির সমাধান:**
প্রদত্ত তথ্য:
— ব্যাসার্ধ (r) = ১৩ সেমি
— জ্যা-এর দৈর্ঘ্য (l) = ২৪ সেমি
আমাদেরকে কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব (d) নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
r² = d² + (l/2)²
প্রথমে জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
l/2 = ২৪ / ২ = ১২ সেমি
এখন উপরের সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
(১৩)² = d² + (১২)²
১৬৯ = d² + ১৪৪
d² = ১৬৯ - ১৪৪
d² = ২৫
d = √২৫
d = ৫ সেমি
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ৩: এই উত্তরটি ভুল কারণ পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে d² = ২৫, তাই d = ৫। ৩ এর বর্গ ৯, যা ২৫-এর সমান নয়।
✗ খ) ৪: এই উত্তরটি ভুল কারণ ৪-এর বর্গ ১৬, যা ২৫-এর সমান নয়। সূত্র অনুযায়ী d = ৫ হওয়া উচিত।
✗ ঘ) ৬: এই উত্তরটি ভুল কারণ ৬-এর বর্গ ৩৬, যা ২৫-এর চেয়ে বড়। সূত্র অনুযায়ী d = ৫ হওয়া উচিত।
---
**উৎস:**
- গণিত বিষয়ক প্রাথমিক পাঠ্যপুস্তক (৬ষ্ঠ থেকে ১০ম শ্রেণি)
- মাধ্যমিক গণিত সিলেবাস (বৃত্ত সম্পর্কিত অধ্যায়)
- বিগত বছরের BCS, Bank ও Primary শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার প্রশ্নব