ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (গ) ১/২
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণত গণিত ও সাধারণ জ্ঞানের অংশে সমীকরণ সমাধানের প্রশ্ন আসে। উপরের সমীকরণটি হলো একটি সূচকীয় সমীকরণ (Exponential Equation), যা সমাধানের জন্য সূচকের ধর্ম ও বীজগাণিতিক সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।
**সমীকরণটির সমাধান প্রক্রিয়া:**
প্রদত্ত সমীকরণ:
4ˣ + 4¹⁻ˣ = 4
ধাপ ১: সমীকরণটিকে সরল করার জন্য 4ˣ = y ধরে নেওয়া যাক।
তাহলে, 4¹⁻ˣ = 4 / 4ˣ = 4 / y
সমীকরণটি দাঁড়ায়:
y + 4/y = 4
ধাপ ২: উভয় পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে সরল করা যায়:
y² + 4 = 4y
⇒ y² – 4y + 4 = 0
ধাপ ৩: এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করা যায়:
y = [4 ± √(16 – 16)] / 2
⇒ y = [4 ± 0] / 2
⇒ y = 2
ধাপ ৪: y = 4ˣ = 2
⇒ 4ˣ = 2
⇒ (2²)ˣ = 2¹
⇒ 2²ˣ = 2¹
⇒ 2x = 1
⇒ x = 1/2
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ১/৪: যদি কেউ সমীকরণটিকে সরল না করে সরাসরি x = 1/4 ধরে নেন, তাহলে 4^(1/4) + 4^(1 – 1/4) = 4^(1/4) + 4^(3/4) ≈ 1.414 + 2.828 ≈ 4.242 ≠ 4। তাই এটি ভুল।
✗ খ) ১/৩: x = 1/3 হলে, 4^(1/3) + 4^(1 – 1/3) = 4^(1/3) + 4^(2/3) ≈ 1.587 + 2.519 ≈ 4.106 ≠ 4। তাই এটি ভুল।
✗ ঘ) ১: x = 1 হলে, 4¹ + 4⁰ = 4 + 1 = 5 ≠ 4। তাই এটি ভুল।
**উৎস:**
1. *Higher Secondary Mathematics* (Bangladesh Textbook Board) – দ্বিঘাত সমীকরণ ও সূচক সম্পর্কিত অধ্যায়।
2. *BCS Preliminary Mathematics* (Bangla Academy) – সমীকরণ সমাধানের অধ্যায়।
3. *Bank Job Mathematics* (Chowdhury & Hossain) – সূচকীয় সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি।