ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ক) ১০
সমাবেশ তত্ত্বের (Combination Theory) একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা হলো কতভাবে একটি দলকে সমান সংখ্যক দুইটি উপদলে বিভক্ত করা যায়। এটি গণিতে Permutation ও Combination অধ্যায়ের অন্তর্ভুক্ত একটি সাধারণ সমস্যা, যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় বারবার আসে।
**সমস্যার ব্যাখ্যা:**
৬ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করতে হলে, প্রথমে মোট উপায় নির্ধারণ করতে হবে। এখানে দল দুটির মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই (অর্থাৎ দল দুটির নাম আলাদা নয়, যেমন "লাল দল" ও "নীল দল")। তাই একই দলবিন্যাসকে দুইবার গণনা করা হবে না।
**গণনার পদ্ধতি:**
- ৬ জন খেলোয়াড় থেকে ৩ জনকে একটি দল এবং বাকি ৩ জনকে অন্য দল হিসেবে নির্বাচন করতে হবে।
- এটি একটি সমাবেশ সমস্যা, যেখানে ৬C3 (৬ সি ৩) নির্ণয় করতে হবে।
- সূত্র: nCr = n! / (r! * (n-r)!)
- এখানে n = ৬, r = ৩
- ৬C3 = ৬! / (৩! * ৩!) = (৬×৫×৪) / (৩×২×১) = ২০
তবে, যেহেতু দল দুটির মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই (দুটি দলই সমান), তাই একই দলবিন্যাসকে দুইবার গণনা করা হয়েছে। তাই মোট প্রকৃত উপায় = ২০ / ২ = ১০।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ খ) ২০: এটি সেই উপায় যেখানে দল দুটির মধ্যে পার্থক্য বিবেচনা করা হয়েছে (যেমন দল দুটির নাম আলাদা)। কিন্তু এখানে দল দুটির নাম আলাদা নয় বলে এটি ভুল।
✗ গ) ৬০: এটি ৬P3 (ক্রম পরিবর্তন বিবেচনা করলে) অথবা অন্য কোনো ভুল গণনার ফলাফল হতে পারে।
✗ ঘ) ১২০: এটি ৬! (সমস্ত খেলোয়াড়কে সাজানোর উপায়) অথবা অন্য কোনো ভুল গণনার ফলাফল হতে পারে।
উৎস:
- গণিতের উচ্চ মাধ্যমিক পাঠ্যপুস্তক (সমাবেশ তত্ত্ব অধ্যায়)
- বিসিএস পরীক্ষার পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্ন ব্যাংক
- NTRCA গণিত প্রশ্ন ব্যাংক