ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ক) 54
**ভূমিকা:**
বীজগণিতের সূত্রাবলি ও সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে সাধারণত প্রদত্ত শর্ত থেকে অজানা চলকের মান নির্ণয় করা হয়। এখানে প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:
a³ - b³ = 513 এবং a - b = 3। এ ধরনের সমস্যা সমাধানে সূত্র ও গাণিতিক সম্পর্ক ব্যবহার করা হয়।
**a³ - b³ সম্পর্কিত সূত্র ও তথ্য:**
— a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) — এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র যা দুটি ঘনের বিয়োগফল নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
— প্রদত্ত তথ্য অনুসারে, a - b = 3।
— a³ - b³ = 513 দেওয়া আছে।
— সুতরাং, 513 = 3 × (a² + ab + b²)।
— এ থেকে পাই, a² + ab + b² = 513 ÷ 3 = 171।
**a - b = 3 থেকে আরও তথ্য:**
— (a - b)² = a² - 2ab + b² = 9।
— আমরা ইতিমধ্যে পেয়েছি, a² + ab + b² = 171।
— এখন, (a² + ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 171 - 9 = 162।
— অর্থাৎ, 3ab = 162।
— অতএব, ab = 162 ÷ 3 = 54।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ খ) 35: এটি ভুল কারণ সূত্র প্রয়োগ করলে ab এর মান 54 পাওয়া যায়, 35 নয়।
✗ গ) 45: এটি ভুল কারণ সূত্র প্রয়োগ করলে ab এর মান 54 পাওয়া যায়, 45 নয়।
✗ ঘ) 55: এটি ভুল কারণ সূত্র প্রয়োগ করলে ab এর মান 54 পাওয়া যায়, 55 নয়।
**উৎস:**
— গণিতের সূত্রাবলি (বীজগণিত অংশ), মাধ্যমিক গণিত পাঠ্যপুস্তক।
— বিসিএস গণিত প্রশ্নব্যাংক, বিভিন্ন সংস্করণ।