ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) (a² + 2a + 2)(a² – 2a + 2)
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণ গণিত ও বীজগণিত থেকে প্রায়ই উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্পর্কিত প্রশ্ন আসে। বিশেষ করে BCS, Bank, Primary শিক্ষক নিয়োগ (NTRCA) পরীক্ষায় এ ধরনের প্রশ্নের গুরুত্ব বেশি। a⁴ + 4 এর উৎপাদক নির্ণয় একটি ক্লাসিক উদাহরণ যা পরীক্ষার্থীদের বীজগাণিতিক সূত্র প্রয়োগে দক্ষতা যাচাই করে।
**a⁴ + 4 সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— এটি একটি বিশেষ ধরনের দ্বিপদীর উৎপাদক বিশ্লেষণ, যা সাধারণ দ্বিপদীর সূত্রের মাধ্যমে সরাসরি করা যায় না।
— a⁴ + 4 কে a⁴ + 4a² + 4 – 4a² হিসেবে লেখা যায়, যা একটি পূর্ণবর্গের সূত্র প্রয়োগের মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব।
— এভাবে লেখার পর এটি (a² + 2)² – (2a)² হিসেবে দাঁড়ায়, যা একটি অন্তরফলের সূত্র (Difference of Squares) হিসেবে বিবেচ্য।
— অন্তরফলের সূত্র প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়: (a² + 2 + 2a)(a² + 2 – 2a) = (a² + 2a + 2)(a² – 2a + 2)।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ (ক) (a² + 2a + 2)(a² – 2a – 2): দ্বিতীয় উৎপাদকে শেষ পদটি (-2) হওয়ায় এটি ভুল। উৎপাদক বিশ্লেষণের সময় ধ্রুবকের মান পরিবর্তন করা যায় না।
✗ (গ) (a² – 2a + 2)(a² + 2a – 2): দ্বিতীয় উৎপাদকে শেষ পদটি (-2) হওয়ায় এটি ভুল। উৎপাদকে বিশ্লেষণের সময় ধ্রুবকের মান পরিবর্তন করা যায় না।
✗ (ঘ) (a² – 2a – 2)(a² – 2a + 2): প্রথম উৎপাদকে শেষ পদটি (-2) হওয়ায় এটি ভুল। উৎপাদকে বিশ্লেষণের সময় ধ্রুবকের মান পরিবর্তন করা যায় না।
**উৎস:**
— গণিতের ক্লাসিক্যাল বই যেমন "Higher Algebra" by Hall & Knight
— BCS Preliminary পরীক্ষার পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্নপত্র (বিশেষত গণিত অংশ)
— NTRCA শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার গণিত সিলেবাস ও প্রশ্নব্যাংক