A এবং B দুটি ঘটনা যেন, P(A) = 1/2, P(A∪B) = 3/4, P(B c ) = 5/8 হলে, P(A c ∩ B c ) = কত?

সঠিক উত্তর: (গ) 1/4 <সম্ভাবনা তত্ত্ব (Probability Theory) সম্পর্কিত প্রাথমিক ধারণা> **সম্ভাবনা তত্ত্বের মৌলিক সূত্র ও সংজ্ঞা:** সম্ভাবনা তত্ত্বে, দুটি ঘটনা A এবং B এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলো প্রযোজ্য: 1. **P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)** (সম্ভাবনার যোগ সূত্র) 2. **P(Bᶜ) = 1 – P(B)** (পরিপূরক ঘটনার সম্ভাবনা) 3. **P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = P((A∪B)ᶜ) = 1 – P(A∪B)** (ডি মরগ্যানের সূত্র) --- **প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ:** - P(A) = 1/2 - P(A∪B) = 3/4 - P(Bᶜ) = 5/8 **ধাপ ১: P(B) নির্ণয়** P(Bᶜ) = 1 – P(B) ⇒ 5/8 = 1 – P(B) ⇒ P(B) = 1 – 5/8 = 3/8 **ধাপ ২: P(A∩B) নির্ণয়** P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ⇒ 3/4 = 1/2 + 3/8 – P(A∩B) ⇒ 3/4 = (4/8 + 3/8) – P(A∩B) ⇒ 3/4 = 7/8 – P(A∩B) ⇒ P(A∩B) = 7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = 1/8 **ধাপ ৩: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) নির্ণয়** P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = P((A∪B)ᶜ) = 1 – P(A∪B) ⇒ P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 – 3/4 = 1/4 --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) 1/8: এটি P(A∩B) এর মান, যা সরাসরি P(Aᶜ ∩ Bᶜ) নয়। ✗ খ) 1/6: এটি প্রদত্ত তথ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় এবং সম্ভাবনা সূত্রের সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ। ✗ ঘ) 1/2: এটি P(A) এর মান, যা P(Aᶜ ∩ Bᶜ) এর সাথে সম্পর্কিত নয়। --- **উৎস:** 1. *Probability and Statistics* – Morris H. DeGroot & Mark J. Schervish (Pearson) 2. *A First Course in Probability* – Sheldon Ross (Pearson) 3. BCS Preliminary পরীক্ষার সম্ভাবনা বিষয়ক প্রশ্নব্যাংক (২০১০-২০২৩)