ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) 14 miles
**ভূমিকা:**
স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং দূরত্ব নির্ণয় বিষয়ক এই ধরনের সমস্যা সাধারণত বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষায় (BCS, Bank, NTRCA, Primary) দেখা যায়। এ ধরনের প্রশ্নের সমাধানে জ্যামিতিক ধারণা এবং ত্রিকোণমিতির প্রয়োগ অপরিহার্য।
**স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ও দূরত্ব নির্ণয় সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— **স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (Coordinate System):** যেকোনো দুটি শহরের অবস্থানকে একটি সমতলে স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এখানে শহর A-এর অবস্থানকে মূলবিন্দু (0,0) ধরে নেওয়া যেতে পারে।
— **দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র:** দুইটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো:
**Distance = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]**
— **দিক নির্দেশনা:**
- পূর্ব দিকে (East) গেলে x-স্থানাঙ্ক বৃদ্ধি পায়।
- দক্ষিণ-পূর্ব দিকে (Southeast) গেলে x-স্থানাঙ্ক বৃদ্ধি পায় এবং y-স্থানাঙ্ক হ্রাস পায়।
— **ত্রিকোণমিতির প্রয়োগ:** দক্ষিণ-পূর্ব দিক ৪৫° কোণে দক্ষিণ ও পূর্ব দিকে সমানভাবে বিভক্ত থাকে। ফলে, দক্ষিণ-পূর্ব দিকে গেলে উভয় দিকেই সমান দূরত্ব অতিক্রম করা হয়।
**সমস্যার সমাধান:**
1. শহর A-এর অবস্থানকে (0,0) ধরে নেওয়া হলো।
2. শহর B শহর A থেকে ৫ মাইল পূর্বে অবস্থিত। তাই শহর B-এর স্থানাঙ্ক হবে (5,0)।
3. শহর C শহর B থেকে ১০ মাইল দক্ষিণ-পূর্ব দিকে অবস্থিত। দক্ষিণ-পূর্ব দিকে গেলে উভয় দিকেই সমানভাবে দূরত্ব অতিক্রম করা হয়।
- পূর্ব দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব = 10 × cos(45°) = 10 × (√2/2) ≈ ৭.০৭ মাইল
- দক্ষিণ দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব = 10 × sin(45°) = 10 × (√2/2) ≈ ৭.০৭ মাইল
4. শহর C-এর স্থানাঙ্ক হবে:
- x = 5 + ৭.০৭ ≈ ১২.০৭
- y = 0 - ৭.০৭ ≈ -৭.০৭
5. শহর A (0,0) এবং শহর C (১২.০৭, -৭.০৭) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়:
**Distance = √[(১২.০৭ - 0)² + (-৭.০৭ - 0)²]**
= √[(১২.০৭)² + (৭.০৭)²]
= √[১৪৫.৬৮ + ৪৯.৯৮]
= √১৯৫.৬৬
≈ ১৪ মাইল
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) 11 miles: এই মানটি অত্যন্ত কম। শহর B থেকে শহর C-এর দূরত্ব ১০ মাইল হলেও শহর A থেকে শহর C-এর দূরত্ব এর চেয়ে বেশি হবে।
✗ খ) 12 miles: এই মানটি শহর B থেকে শহর C-এর দূরত্বের কাছাকাছি হলেও শহর A থেকে শহর C-এর প্রকৃত দূরত্ব এর চেয়ে বেশি।