ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) ২৪ এবং ১২ মিনিট
<গাণিতিক সমস্যা সমাধানের সাধারণ প্রক্রিয়া সম্পর্কিত ভূমিকা>
দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হওয়ার সময় নির্ণয় করতে হলে সাধারণত কাজের হার (Work Rate) পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এখানে দুটি নলের কার্যক্ষমতা আলাদাভাবে নির্ণয় করতে হবে। সমস্যাটিতে সময়ের পার্থক্য ও কার্যক্রমের ধারাবাহিকতা বিশ্লেষণ করে সমাধান করতে হবে।
**সমস্যাটির বিশ্লেষণ:**
ধরি,
- প্রথম নলের কাজের হার = \( \frac{1}{x} \) (চৌবাচ্চা প্রতি মিনিটে)
- দ্বিতীয় নলের কাজের হার = \( \frac{1}{y} \) (চৌবাচ্চা প্রতি মিনিটে)
দেওয়া আছে:
১. দুটি নল একত্রে ৮ মিনিটে চৌবাচ্চা পূর্ণ করে।
— কাজের হার যোগ করলে: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \) ...(১)
২. দুটি নল খোলা থাকার পর ৪ মিনিট পর প্রথম নল বন্ধ করে দিলে বাকি সময়ে দ্বিতীয় নল একাই চৌবাচ্চা পূর্ণ করে। এতে মোট সময় লাগে ৪ + ৬ = ১০ মিনিট।
— প্রথম ৪ মিনিটে দুটি নল মিলে পূর্ণ করেছে: \( 4 \times \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \) অংশ।
— বাকি অংশ: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) অংশ দ্বিতীয় নল একাই ৬ মিনিটে পূর্ণ করে।
— কাজের হার: \( \frac{1}{y} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12} \)
— সুতরাং, দ্বিতীয় নলের সময়: \( y = 12 \) মিনিট।
৩. দ্বিতীয় নলের মান (y = ১২) সমীকরণ (১) এ বসিয়ে প্রথম নলের মান নির্ণয়:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{12} = \frac{1}{8} \)
\( \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3-2}{24} = \frac{1}{24} \)
— সুতরাং, প্রথম নলের সময়: \( x = 24 \) মিনিট।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ১৮ এবং ১২ মিনিট:
— যদি প্রথম নলের সময় ১৮ মিনিট হতো, তাহলে সমীকরণ (১) অনুযায়ী দ্বিতীয় নলের সময় নির্ণয় করলে ভিন্ন মান পাওয়া যেত। এছাড়া প্রদত্ত শর্তের সাথে মিলবে না।
✗ গ) ১৫ এবং ১২ মিনিট:
— প্রথম নলের সময় ১৫ মিনিট হলে, সমীকরণ (১) অনুযায়ী দ্বিতীয় নলের সময় নির্ণয় করলে ভিন্ন মান পাওয়া যেত। প্রদত্ত শর্তের সাথে অসঙ্গতি রয়েছে।
✗ ঘ) ১০ এবং ১৫ মিনিট:
— প্রথম নলের সময় ১০ মিনিট এবং দ্বিতীয় নলের সময় ১৫ মিনিট হলে, সমীকরণ (১) অনুযায়ী দুটি নলের মিলিত হার নির্ণয় করলে ৮ মিনিট সময় পাওয়া যায় না।
উৎস:
- গণিত বিষয়ক বিভিন্ন পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (BCS, Bank