ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) ১৪৪, ২০৪
দুটি সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু), বিয়োগফল এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) দেওয়া থাকলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করার পদ্ধতি সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ গণিত বিষয়।
**গ.সা.গু, ল.সা.গু এবং সংখ্যা সম্পর্কিত তথ্য:**
— দুটি সংখ্যার গ.সা.গু হলো সেই বৃহত্তম সংখ্যা যা উভয় সংখ্যাকে নিঃশেষে বিভাজিত করে।
— ল.সা.গু হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা উভয় সংখ্যার গুণিতক হিসেবে থাকে।
— যদি দুটি সংখ্যা \( a \) এবং \( b \) হয়, তাহলে:
- গ.সা.গু = \( d \)
- ল.সা.গু = \( m \)
- \( a = d \times p \), \( b = d \times q \) যেখানে \( p \) এবং \( q \) পরস্পর সহমৌলিক (গ.সা.গু ১)।
- \( m = d \times p \times q \)
- \( a - b = d \times (p - q) \) বা \( b - a = d \times (q - p) \)
**প্রদত্ত তথ্য বিশ্লেষণ:**
— গ.সা.গু = ১২
— বিয়োগফল = ৬০
— ল.সা.গু = ২৪৪৮
ধরি, সংখ্যা দুটি \( a \) এবং \( b \) যেখানে \( a > b \)।
তাহলে:
— \( a - b = ৬০ \)
— গ.সা.গু = ১২ ⇒ \( a = ১২p \), \( b = ১২q \) যেখানে \( p \) এবং \( q \) সহমৌলিক।
— \( a - b = ১২(p - q) = ৬০ \) ⇒ \( p - q = ৫ \)
— ল.সা.গু = \( ১২pq = ২৪৪৮ \) ⇒ \( pq = ২০৪ \)
এখন, \( p - q = ৫ \) এবং \( pq = ২০৪ \) সমাধান করতে হবে।
ধরি, \( p = q + ৫ \) ⇒ \( (q + ৫)q = ২০৪ \) ⇒ \( q^২ + ৫q - ২০৪ = ০ \)
এই সমীকরণ সমাধান করলে:
\( q = \frac{-৫ \pm \sqrt{২৫ + ৮১৬}}{২} = \frac{-৫ \pm \sqrt{৮৪১}}{২} = \frac{-৫ \pm ২৯}{২} \)
⇒ \( q = ১২ \) (ধনাত্মক মান গ্রহণযোগ্য)
⇒ \( p = ১৭ \)
তাহলে:
— \( a = ১২ \times ১৭ = ২০৪ \)
— \( b = ১২ \times ১২ = ১৪৪ \)
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ১০৮, ১৪৪:
— গ.সা.গু = ৩৬ (ভুল, প্রদত্ত গ.সা.গু ১২)
— ল.সা.গু = ৪৩২ (ভুল, প্রদত্ত ল.সা.গু ২৪৪৮)
✗ খ) ১১২, ১৪৮:
— গ.সা.গু = ৪ (ভুল, প্রদত্ত গ.সা.গু ১২)
— ল.সা