ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) 16 মিটার
**ভূমিকা:**
গণিতের ত্রিকোণমিতি বিষয়ক সমস্যা সমাধানে ভূমির সাথে কোন উৎপন্ন করে দৈর্ঘ্য নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ দক্ষতা। বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে (BCS, Bank, Primary, NTRCA) প্রায়ই এমন সমস্যা দেখা যায়, যেখানে ত্রিকোণমিতির সূত্র প্রয়োগ করে সঠিক উত্তর নির্ণয় করতে হয়।
**সমস্যার সমাধান সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য:**
— খুঁটিটি ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে ভেঙ্গেছে, অর্থাৎ ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে ত্রিভুজের একটি কোণ তৈরি করেছে।
— খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার। ধরি, খুঁটিটি ভূমি থেকে **x** মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে। তাহলে ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য হবে **(48 - x)** মিটার।
— ভাঙ্গা অংশটি ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করছে, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হিসেবে কাজ করছে।
— সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্নকারী বাহুর বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য হবে অতিভুজের অর্ধেক (sin 30° = 1/2)।
— অতএব, ভূমির বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য = (48 - x) × sin 30° = (48 - x) × 1/2 = (48 - x)/2
— কিন্তু ভূমির বিপরীত বাহুটি হলো খুঁটির ভাঙ্গা অংশের উল্লম্ব উচ্চতা, যা আসলে **x** মিটার (যেহেতু খুঁটিটি x মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছে)।
— অতএব, সমীকরণ দাঁড়ায়:
x = (48 - x)/2
=> 2x = 48 - x
=> 3x = 48
=> x = 16
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) 14 মিটার: এই মানটি সঠিক সমীকরণ সমাধান করলে পাওয়া যায় না। এটি ভুল হিসাবের ফলাফল।
✗ গ) 18 মিটার: এই মানটি ভূমির সাথে ৩০° কোণের পরিবর্তে অন্য কোনো কোণের জন্য প্রযোজ্য হতে পারে, কিন্তু এখানে তা প্রযোজ্য নয়।
✗ ঘ) 20 মিটার: এই মানটি সঠিক সমীকরণ সমাধান করলে পাওয়া যায় না। এটি ভুল হিসাবের ফলাফল।
**উৎস:**
- উচ্চ মাধ্যমিক গণিত বই (ত্রিকোণমিতি অধ্যায়)
- মাধ্যমিক গণিত বই (ত্রিভুজ ও পরিমিতি)
- BCS Preliminary প্রশ্নব্যাংক (গণিত বিভাগ)