ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) ৯৬ মিটার
একটি আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয়ের সমস্যা সমাধানের জন্য সাধারণ গণিতের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো **দৈর্ঘ্য × প্রস্থ**, এবং পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র হলো **২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)**। এই সমস্যায় প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গমিটার। এখানে বিস্তার বলতে প্রস্থকে বোঝানো হয়েছে। তাই সমস্যাটি সমাধানের জন্য প্রথমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মান নির্ণয় করে তারপর পরিসীমা বের করতে হবে।
**আয়তাকার ক্ষেত্র সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— আয়তাকার ক্ষেত্র হলো এমন একটি চতুর্ভুজ যার চারটি কোণ সমকোণ (৯০°) এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
— আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: **ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ**।
— আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র: **পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)**।
— আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র: **কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)**।
**সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়া:**
১. ধরি, প্রস্থ = **x** মিটার।
২. প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, দৈর্ঘ্য = **২x** মিটার।
৩. ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = **২x × x = ২x²** বর্গমিটার।
৪. প্রদত্ত ক্ষেত্রফল = ৫১২ বর্গমিটার।
তাই, **২x² = ৫১২**
⇒ **x² = ২৫৬**
⇒ **x = √২৫৬ = ১৬** মিটার।
৫. সুতরাং, প্রস্থ = **১৬ মিটার** এবং দৈর্ঘ্য = **২ × ১৬ = ৩২ মিটার**।
৬. পরিসীমা = **২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ × (৩২ + ১৬) = ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার**।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ৯৮ মিটার: এই মানটি সঠিকভাবে প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় না করলে পাওয়া যায়। যেমন, যদি প্রস্থ = ১৪ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ২৮ মিটার ধরা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল = ৩৯২ বর্গমিটার হয়, যা প্রদত্ত ক্ষেত্রফলের সাথে মিলে না।
✗ গ) ৯৪ মিটার: এই মানটি ক্ষেত্রফলের সূত্র ভুলভাবে প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়। যেমন, যদি প্রস্থ = ১৫ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার ধরা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল = ৪৫০ বর্গমিটার হয়, যা প্রদত্ত ক্ষেত্রফলের সাথে মিলে না।
✗ ঘ) ৯২ মিটার: এই মানটি ক্ষেত্রফলের সূত্র ভুলভাবে প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়। যেমন, যদি প্রস্থ = ১৭ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ৩৪ মিটার ধরা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল = ৫৭৮ বর্গমিটার হয়, যা প্রদত্ত ক্ষেত্রফলের সাথে মিলে না।
উৎস:
— গণিতের মৌলিক সূত্রাবলী (দ