ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ক) 5
গুণোত্তর অনুক্রম (Geometric Sequence) সম্পর্কিত প্রাথমিক ধারণা:
গুণোত্তর অনুক্রম হলো এমন একটি সংখ্যা অনুক্রম যেখানে প্রতিটি পদকে পূর্ববর্তী পদ দ্বারা একটি নির্দিষ্ট অনুপাত (common ratio, r) দ্বারা গুণ করা হয়। গুণোত্তর অনুক্রমের সাধারণ রূপ হলো:
a, ar, ar², ar³, ..., arⁿ⁻¹
এখানে,
- a = প্রথম পদ (First term)
- r = সাধারণ অনুপাত (Common ratio)
- n = পদসংখ্যা (Term number)
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
- তৃতীয় পদ (3rd term) = ar² = 20
- ষষ্ঠ পদ (6th term) = ar⁵ = 160
এখন, প্রদত্ত সমীকরণ দুটি সমাধান করলে প্রথম পদ (a) নির্ণয় করা যাবে।
---
গুণোত্তর অনুক্রমের সূত্র প্রয়োগ:
1. ar² = 20
2. ar⁵ = 160
সমীকরণ দুটি ভাগ করলে (ar⁵ / ar² = 160 / 20):
r³ = 8
=> r = ∛8 = 2
এখন, r = 2 মানটি প্রথম সমীকরণে বসিয়ে প্রথম পদ (a) নির্ণয় করা যায়:
ar² = 20
=> a * (2)² = 20
=> a * 4 = 20
=> a = 20 / 4 = 5
অতএব, প্রথম পদটি হলো 5।
---
বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:
✗ খ) 10: যদি প্রথম পদ 10 হতো, তাহলে তৃতীয় পদ হতো 10 * r² = 20 => r² = 2 => r = √2। কিন্তু ষষ্ঠ পদ হতো 10 * (√2)⁵ ≈ 10 * 5.66 ≈ 56.6, যা প্রদত্ত 160 এর সাথে মিলবে না।
✗ গ) 12: প্রথম পদ 12 হলে, তৃতীয় পদ হতো 12 * r² = 20 => r² ≈ 1.67 => r ≈ 1.29। ষষ্ঠ পদ হতো 12 * (1.29)⁵ ≈ 12 * 3.5 ≈ 42, যা প্রদত্ত 160 এর সাথে মিলবে না।
✗ ঘ) 8: প্রথম পদ 8 হলে, তৃতীয় পদ হতো 8 * r² = 20 => r² = 2.5 => r ≈ 1.58। ষষ্ঠ পদ হতো 8 * (1.58)⁵ ≈ 8 * 10.5 ≈ 84, যা প্রদত্ত 160 এর সাথে মিলবে না।
---
উৎস:
1. *Higher Secondary Mathematics (First Paper)* – Bangladesh Textbook Board (BTEB)
2. *BCS Preliminary General Knowledge* – এমপি থ্রি প্রকাশনী
3. *Geometric Sequence Problems* – Khan Academy (অনলাইন রিসোর্স)