একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?

সঠিক উত্তর: (গ) ৫ ফুট **ভূমিকা:** সাধারণ জ্ঞান ও গণিতের সমন্বয়ে গঠিত এই সমস্যাটি বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে (BCS, Bank, Primary, NTRCA) প্রায়শই দেখা যায়। এটি মূলত পিথাগোরাসের উপপাদ্যের একটি প্রয়োগভিত্তিক সমস্যা, যেখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজের মাধ্যমে দড়ির দৈর্ঘ্য, নৌকার দূরত্ব এবং ডকের উচ্চতার সম্পর্ক স্থাপন করা হয়। --- **সমস্যার বিশ্লেষণ ও সমাধান:** ধরি, - ডকের উচ্চতা = **h** ফুট - নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব = **12 ফুট** - দড়ির দৈর্ঘ্য = **L** ফুট প্রশ্নানুসারে, দড়ির দৈর্ঘ্য (L) = ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট বেশি অর্থাৎ, **L = 2h + 3** এখানে, নৌকা, ডক এবং দড়ির অবস্থান একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। - অতিভুজ = দড়ির দৈর্ঘ্য (L) - ভূমি = নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব (12 ফুট) - লম্ব = ডকের উচ্চতা (h) পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: **L² = 12² + h²** বা, **(2h + 3)² = 144 + h²** বা, **4h² + 12h + 9 = 144 + h²** বা, **4h² - h² + 12h + 9 - 144 = 0** বা, **3h² + 12h - 135 = 0** বা, **h² + 4h - 45 = 0** (উভয় পক্ষকে ৩ দ্বারা ভাগ করে) এখন, দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি: **h² + 4h - 45 = 0** বা, **h² + 9h - 5h - 45 = 0** বা, **h(h + 9) - 5(h + 9) = 0** বা, **(h - 5)(h + 9) = 0** সুতরাং, **h = 5** বা **h = -9** যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই **h = 5 ফুট**। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ **ক) ৯ ফুট**: যদি কেউ ভুলভাবে সমীকরণ সমাধান করেন বা পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগে ভুল করেন, তাহলে এই উত্তর আসতে পারে। তবে এটি সঠিক নয়। ✗ **খ) ৮ ফুট**: এটি একটি সাধারণ অনুমান হতে পারে, কিন্তু গাণিতিকভাবে সমীকরণের সমাধান থেকে এটি প্রমাণিত নয়। ✗ **ঘ) ৪ ফুট**: এটি অত্যন্ত কম মান, যা সমীকরণের সমাধান থেকে পাওয়া যায় না। --- **উৎস:** - গণিতের পাঠ্যপুস্তক (সমকোণী ত্রিভুজ ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য) - সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (BCS, Bank, Primary) - মাধ্যমিক গণিত বই (ত্রিকোণমিতি অধ্যায়)