ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) 1/2
<ফাংশন ও বিপরীত ফাংশন সম্পর্কিত বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয়>
**f(x) = 2x + 1** ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন **f⁻¹(x)** নির্ণয় এবং **f⁻¹(2)** এর মান নির্ণয় সম্পর্কিত বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
**f(x) = 2x + 1 সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— এটি একটি **রৈখিক ফাংশন (Linear Function)** যার গ্রাফ একটি সরলরেখা।
— ডোমেন ও কোডোমেন উভয়ই **বাস্তব সংখ্যার সেট (R)**।
— ফাংশনটির **ঢাল (Slope) = 2** এবং **y-অন্তঃখণ্ড (y-intercept) = 1**।
— যেহেতু ঢাল **2 ≠ 0**, তাই ফাংশনটি **এক-এক (One-to-One)** এবং **অভিলম্ব (Bijective)**। ফলে এর বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান।
**বিপরীত ফাংশন নির্ণয় (f⁻¹(x)):**
— বিপরীত ফাংশন নির্ণয়ের জন্য আমরা **y = f(x)** সমীকরণ থেকে **x** কে **y** এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
— প্রদত্ত ফাংশন: **y = 2x + 1**
— সমীকরণটিকে **x** এর জন্য সমাধান করলে:
y = 2x + 1
=> 2x = y - 1
=> x = (y - 1)/2
— অতএব, বিপরীত ফাংশনটি হলো:
**f⁻¹(y) = (y - 1)/2**
অথবা, **f⁻¹(x) = (x - 1)/2**
**f⁻¹(2) এর মান নির্ণয়:**
— বিপরীত ফাংশনে **x = 2** বসিয়ে পাই:
f⁻¹(2) = (2 - 1)/2 = 1/2
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) 0: এটি ভুল কারণ f⁻¹(2) = 0 হলে, f(0) = 2 হতো। কিন্তু f(0) = 2(0) + 1 = 1 ≠ 2।
✗ গ) 5: এটি ভুল কারণ f(5) = 2(5) + 1 = 11 ≠ 2। সুতরাং f⁻¹(2) = 5 হতে পারে না।
✗ ঘ) 1: এটি ভুল কারণ f(1) = 2(1) + 1 = 3 ≠ 2। সুতরাং f⁻¹(2) = 1 হতে পারে না।
উৎস:
— *Higher Secondary Mathematics (Class XI & XII), Bangladesh Textbook Board*
— *BCS Preliminary Mathematics Guide, 44th BCS Question Bank*
— *Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen*