ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) 12
**সমান্তর অনুক্রম সম্পর্কিত ভূমিকা:**
সমান্তর অনুক্রম (Arithmetic Sequence) হলো এমন একটি সংখ্যা অনুক্রম যেখানে প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদ থেকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (সাধারণ অন্তর) দ্বারা বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। একে ইংরেজিতে **Arithmetic Progression (AP)** বলা হয়। সমান্তর অনুক্রমের ক্ষেত্রে পদগুলো নির্ণয়ের জন্য কয়েকটি সূত্র ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে অন্যতম হলো:
- nতম পদ = a + (n-1)d
- প্রথম nটি পদের যোগফল = n/2 × {2a + (n-1)d}
এখানে,
a = প্রথম পদ,
d = সাধারণ অন্তর,
n = পদসংখ্যা।
---
**সমস্যার সমাধান:**
প্রদত্ত তথ্য:
- ৫ম পদ = 18
- প্রথম ৫টি পদের যোগফল = 75
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d
১ম পদ = a
২য় পদ = a + d
৩য় পদ = a + 2d
৪র্থ পদ = a + 3d
৫ম পদ = a + 4d
প্রশ্নানুসারে,
৫ম পদ = a + 4d = 18 ...(i)
আবার,
প্রথম ৫টি পদের যোগফল = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 5a + 10d = 75
=> 5a + 10d = 75
=> a + 2d = 15 ...(ii) (উভয় পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে)
এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) সমাধান করি:
(i) a + 4d = 18
(ii) a + 2d = 15
(ii) থেকে পাই, a = 15 - 2d
এই মান (i) তে বসিয়ে পাই:
(15 - 2d) + 4d = 18
=> 15 + 2d = 18
=> 2d = 3
=> d = 1.5
এখন, a = 15 - 2d = 15 - 2(1.5) = 15 - 3 = 12
অতএব, প্রথম পদ = a = 12
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) 2: যদি প্রথম পদ 2 ধরা হয়, তাহলে সাধারণ অন্তর নির্ণয় করা যায় না এবং যোগফলও মিলবে না। এটি ভুল।
✗ খ) 10: প্রথম পদ 10 ধরে সমাধান করলে যোগফল 75 হবে না। এটি ভুল।
✗ গ) 4: প্রথম পদ 4 ধরে সমাধান করলে ৫ম পদ 18 হবে না। এটি ভুল।
---
**উৎস:**
1. "গণিত পরিচিতি" (৯ম-১০ম শ্রেণি), জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড, বাংলাদেশ।
2. "Higher Secondary Mathematics" (Class XI & XII), Bangladesh Textbook Board.
3. বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক (BCS, Bank, Primary)।