ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) 0
**ভূমিকা:**
গণিতে, কোনো ফাংশনের মান নির্ণয় করার জন্য প্রায়ই প্রদত্ত শর্ত ব্যবহার করা হয়। এখানে প্রদত্ত ফাংশন \( f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9 \) এর জন্য \( f(3) = 0 \) শর্তটি পূরণ করতে হবে। এর মাধ্যমে \( k \) এর মান নির্ণয় করা সম্ভব।
**\( f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9 \) সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— প্রদত্ত ফাংশনটি একটি বহুপদী (polynomial) ফাংশন, যেখানে \( x^3 \) হল সর্বোচ্চ ঘাত।
— \( k \) হল একটি ধ্রুবক যার মান নির্ণয় করতে হবে।
— \( f(3) = 0 \) শর্তটি ব্যবহার করে \( k \) এর মান নির্ণয় করা যাবে।
**সমাধান প্রক্রিয়া:**
1. প্রদত্ত ফাংশনে \( x = 3 \) বসিয়ে \( f(3) \) নির্ণয় করি:
\( f(3) = (3)^3 + k(3)^2 - 6(3) - 9 \)
\( = 27 + 9k - 18 - 9 \)
\( = (27 - 18 - 9) + 9k \)
\( = 0 + 9k \)
\( = 9k \)
2. প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী \( f(3) = 0 \), তাই:
\( 9k = 0 \)
\( k = 0 \)
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) 1: যদি \( k = 1 \) হত, তাহলে \( f(3) = 9 \times 1 = 9 \neq 0 \) হত, যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করত না।
✗ খ) -1: যদি \( k = -1 \) হত, তাহলে \( f(3) = 9 \times (-1) = -9 \neq 0 \) হত, যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করত না।
✗ গ) 2: যদি \( k = 2 \) হত, তাহলে \( f(3) = 9 \times 2 = 18 \neq 0 \) হত, যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করত না।
**উৎস:**
— গণিতের বহুপদী ফাংশন সম্পর্কিত সাধারণ জ্ঞান (উচ্চ মাধ্যমিক গণিত বই)
— বিসিএস গণিত প্রশ্নব্যাংক (২০১০-২০২৩)
— NTRCA গণিত সিলেবাস ও প্রশ্ন বিশ্লেষণ