i-49 এর মান কত?

সঠিক উত্তর: (ঘ) -i **ভূমিকা:** গণিতে জটিল সংখ্যা (Complex Number) সম্পর্কিত সমস্যাবলি বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় (BCS, Bank, NTRCA, Primary) প্রায়শই আসে। বিশেষ করে i (কাল্পনিক একক) সম্পর্কিত সূত্রাবলি যেমন i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 ইত্যাদি জানা থাকলে এ ধরনের সমস্যাগুলো সহজেই সমাধান করা যায়। এখানে i-49 এর মান নির্ণয় করার জন্য জটিল সংখ্যার সূত্রাবলি প্রয়োগ করা হয়েছে। --- **জটিল সংখ্যা i সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:** — **কাল্পনিক একক i এর সংজ্ঞা:** i হলো এমন একটি সংখ্যা যার বর্গ -1 এর সমান, অর্থাৎ i² = -1। — **i এর ঘাতের চক্র (Cycle of Powers of i):** - i¹ = i - i² = -1 - i³ = i² × i = (-1) × i = -i - i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1 - এরপর থেকে পুনরাবৃত্তি হয়: i⁵ = i, i⁶ = -1, i⁷ = -i, i⁸ = 1 ইত্যাদি। — **ঘাতের সূত্র:** iⁿ এর মান নির্ণয়ের জন্য n কে 4 দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষের উপর নির্ভর করে মান নির্ধারণ করা হয়। - যদি n = 4k (যেখানে k পূর্ণসংখ্যা), তাহলে iⁿ = 1 - যদি n = 4k + 1, তাহলে iⁿ = i - যদি n = 4k + 2, তাহলে iⁿ = -1 - যদি n = 4k + 3, তাহলে iⁿ = -i — **i-49 এর ক্ষেত্রে প্রয়োগ:** - -49 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয় -1 (অথবা 3, কারণ -49 = 4×(-13) + 3)। - সুতরাং, i⁻⁴⁹ = i³ = -i। --- **বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:** ✗ ক) -1: এটি i⁻⁴⁸ এর মান হতো, কারণ -48 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয় এবং i⁰ = 1 নয়, বরং i⁻⁴⁸ = (i⁴)⁻¹² = 1⁻¹² = 1। তবে -1 হতো যদি ঘাতটি 4k+2 হতো, যেমন i⁻⁴⁶। ✗ খ) i: এটি হতো যদি ঘাতটি 4k+1 হতো, যেমন i⁻⁴⁵। ✗ গ) 1: এটি হতো যদি ঘাতটি 4k হতো, যেমন i⁻⁴⁸। --- **উৎস:** - *Higher Mathematics* by B.S. Grewal (Chapter: Complex Numbers) - *A Textbook of Algebra* by S.L. Loney (Article: Imaginary Unit) - ৪৪তম বিসিএস প্রিলিমিনারি প্রশ্নব্যাংক (২০২২)