ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) একটি অমূলদ সংখ্যা
গণিতের সংখ্যাতত্ত্ব অনুযায়ী মৌলিক সংখ্যার বর্গমূলের ধর্ম বিশ্লেষণ:
**মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— মৌলিক সংখ্যা হলো সেই সব স্বাভাবিক সংখ্যা যেগুলোকে ১ এবং সেই সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি।
— মৌলিক সংখ্যার সেট অসীম, যা ইউক্লিড প্রমাণ করেছিলেন।
— মৌলিক সংখ্যার বর্গমূলের ধর্ম বিশ্লেষণ করতে গেলে দেখা যায় যে, কোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা।
— অমূলদ সংখ্যা হলো সেইসব বাস্তব সংখ্যা যেগুলোকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না। যেমন: √২, √৩, √৫ ইত্যাদি।
**ব্যাখ্যা:**
— যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে √p একটি অমূলদ সংখ্যা হবে। কারণ, কোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গমূলকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব নয়।
— উদাহরণস্বরূপ:
— √২ ≈ ১.৪১৪২১৩৫৬... (এটি একটি অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা, যা অমূলদ)
— √৩ ≈ ১.৭৩২০৫০৮... (এটিও একটি অমূলদ সংখ্যা)
— সুতরাং, মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল সর্বদাই অমূলদ সংখ্যা।
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা: স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (১, ২, ৩, ...)। মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল কখনই স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে না, কারণ তা অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক।
✗ খ) একটি পূর্ণ সংখ্যা: পূর্ণ সংখ্যা হলো ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও শূন্য সমন্বিত সংখ্যা (..., -২, -১, ০, ১, ২, ...)। মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল কখনই পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে না।
✗ গ) একটি মূলদ সংখ্যা: মূলদ সংখ্যা হলো সেইসব সংখ্যা যেগুলোকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায়। মৌলিক সংখ্যার বর্গমূল কখনই মূলদ সংখ্যা হতে পারে না, কারণ তা অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক।
উৎস:
— সংখ্যাতত্ত্ব বিষয়ক বই: "Introduction to the Theory of Numbers" – G.H. Hardy and E.M. Wright
— গণিতের মৌলিক বিষয়াবলি: "Higher Algebra" – Hall and Knight
— বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক: সাধারণ জ্ঞান ও গণিত অংশ