ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) ০
**ভূমিকা:**
বীজগণিতের সমীকরণ সমাধান এবং বহুপদী রাশির মান নির্ণয় সংক্রান্ত সমস্যা বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে (BCS, Bank, Primary, NTRCA) প্রায়ই আসে। এ ধরনের সমস্যা সমাধানে বহুপদীর বৈশিষ্ট্য ও গাণিতিক সূত্রাবলি সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা থাকা প্রয়োজন।
**প্রদত্ত সমীকরণ ও সমাধান প্রক্রিয়া:**
প্রদত্ত সমীকরণ: \( x^4 - x^2 + 1 = 0 \)
ধাপ ১: সমীকরণটিকে পুনর্বিন্যাস করি:
\( x^4 - x^2 + 1 = 0 \)
\( \Rightarrow x^4 + 1 = x^2 \)
ধাপ ২: উভয় পক্ষকে \( x^2 \) দ্বারা ভাগ করি (যেহেতু \( x \neq 0 \)):
\( \frac{x^4 + 1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} \)
\( \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 \)
ধাপ ৩: আমরা জানি, \( \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \)
তাই,
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 \)
প্রদত্ত যে, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 \), তাহলে:
\( 1 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 \)
\( \Rightarrow \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 3 \)
\( \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3} \)
ধাপ ৪: এখন, \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি,
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) \)
এখানে, \( x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{3} \) বসিয়ে পাই:
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = (\pm \sqrt{3})^3 - 3 (\pm \sqrt{3}) \)
\( = \pm 3\sqrt{3} \mp 3\sqrt{3} \)
\( = 0 \)
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) ৩: এটি একটি সাধারণ ভুল ধারণা। অনেক পরীক্ষার্থী সরাসরি \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) এর মান নির্ণয় করতে গিয়ে ভুল করেন।
✗ খ) ২: এটি একটি অনুমানভিত্তিক উত্তর, যার কোনো গাণিতিক ভিত্তি নেই।
✗ গ) ১: এটি একটি সাধারণ ভুল, যেখানে পরীক্ষার্থীরা \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) এর মানকে সরাসরি উত্তর হিসেবে গ্রহণ করেন।
**উৎস:**
1. *Higher Algebra* – Hall & Knight (Chapter: Theory of Equations)
2. *BCS Preliminary Mathematics* – এমপিও প্রকাশন (বিভিন্ন সংস্করণ)
3. *Bank Job Mathematics* – এমপিও প্রকাশন