সঠিক উত্তর: (খ) 17
দেওয়া আছে:
p + q = 5
p – q = 3
আমাদেরকে p² + q² এর মান নির্ণয় করতে হবে।
<বীজগণিতের সূত্র ও সমীকরণ সমাধান সম্পর্কিত প্রাথমিক ধারণা>
দুই চলক বিশিষ্ট সমীকরণ সমাধানের জন্য সাধারণত যোগ ও বিয়োগ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এছাড়া, p² + q² নির্ণয়ের জন্য পরিচিত সূত্র হলো:
p² + q² = (p + q)² – 2pq
অথবা
p² + q² = (p – q)² + 2pq
এখানে প্রদত্ত সমীকরণগুলো থেকে p ও q এর মান নির্ণয় করে সরাসরি p² + q² বের করা যেতে পারে।
<সমীকরণ থেকে p ও q এর মান নির্ণয়>
প্রথম সমীকরণ: p + q = 5
দ্বিতীয় সমীকরণ: p – q = 3
যোগ করলে:
(p + q) + (p – q) = 5 + 3
=> 2p = 8
=> p = 4
বিয়োগ করলে:
(p + q) – (p – q) = 5 – 3
=> 2q = 2
=> q = 1
এখন p = 4 ও q = 1 বসিয়ে:
p² + q² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
<বিকল্প পদ্ধতি: সূত্র প্রয়োগ>
p² + q² = (p + q)² – 2pq
= 5² – 2pq
= 25 – 2pq
এখন pq এর মান নির্ণয় করতে হবে।
(p + q)² = p² + 2pq + q²
=> 5² = p² + q² + 2pq
=> 25 = 17 + 2pq (যেহেতু p² + q² = 17)
=> 2pq = 25 – 17 = 8
=> pq = 4
এখন সূত্রে pq এর মান বসিয়ে:
p² + q² = 25 – 2×4 = 25 – 8 = 17
<বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ>
✗ ক) 8: এটি p + q = 5 ও p – q = 3 এর সরল যোগফল বা বিয়োগফল থেকে ভুলভাবে নির্ণয় করা হলে পেতে পারে, কিন্তু এটি p² + q² এর মান নয়।
✗ গ) 19: এটি সম্ভবত (p + q)² = 25 অথবা অন্য কোনো ভুল হিসাব থেকে আসতে পারে।
✗ ঘ) 34: এটি সম্ভবত 2(p² + q²) = 34 হিসেবে ভুলভাবে নির্ণয় করা হয়েছে।
উৎস:
- মাধ্যমিক গণিত বই (বীজগণিত অংশ)
- বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্ন ব্যাংক
- NTRCA গণিত প্রশ্ন সমাধান গাইড