ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) 32
সেট তত্ত্ব ও ফিবোনাচ্চি ধারার সমন্বয়ে গঠিত এই সমস্যাটি গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা পরীক্ষা করে। ফিবোনাচ্চি ধারা হলো এমন একটি ধারা যেখানে প্রতিটি সংখ্যা তার পূর্ববর্তী দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান হয়। যেমন: ০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯, ...
---
**ফিবোনাচ্চি ধারা সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:**
— ফিবোনাচ্চি ধারার প্রথম দুইটি পদ হলো **০** এবং **১**।
— তৃতীয় পদ থেকে প্রতিটি পদ তার পূর্ববর্তী দুইটি পদের যোগফলের সমান হয়।
যেমন: F₀ = ০, F₁ = ১, F₂ = F₁ + F₀ = ১ + ০ = ১, F₃ = F₂ + F₁ = ১ + ১ = ২, F₄ = F₃ + F₂ = ২ + ১ = ৩, ইত্যাদি।
— ধারাটির সূত্র হলো:
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, যেখানে n ≥ ২।
— ফিবোনাচ্চি ধারার প্রথম কয়েকটি পদ হলো: **০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯, ...**
— ফিবোনাচ্চি ধারার সাথে প্রকৃতিতে অনেক মিল পাওয়া যায়, যেমন: ফুলের পাপড়ির সংখ্যা, শামুকের খোলসের গঠন ইত্যাদি।
---
**সমস্যাটির সমাধান:**
প্রদত্ত সেট A = {x: x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 64}।
1. **x² < 64** শর্ত থেকে পাওয়া যায়:
x < √64 → x < ৮।
অর্থাৎ, x এর মান অবশ্যই ৮ এর চেয়ে ছোট হতে হবে।
2. **ফিবোনাচ্চি ধারার সংখ্যাগুলোর মধ্যে যেগুলোর মান ৮ এর চেয়ে ছোট:**
— ০ (F₀)
— ১ (F₁)
— ১ (F₂)
— ২ (F₃)
— ৩ (F₄)
— ৫ (F₅)
— ৮ (F₆) → **এটি বাদ যাবে কারণ ৮² = ৬৪, যা ৬৪ এর সমান নয় (শর্ত x² < 64)।**
সুতরাং, সেট A = {০, ১, ১, ২, ৩, ৫}।
3. **সেট A এর উপাদান সংখ্যা:**
সেট A = {০, ১, ১, ২, ৩, ৫}।
এখানে পুনরাবৃত্তি থাকায় প্রকৃত উপাদান সংখ্যা হলো **৬টি** (কারণ সেটের সংজ্ঞা অনুসারে পুনরাবৃত্তি গ্রহণযোগ্য নয়)।
4. **P(A) এর অর্থ:**
P(A) দ্বারা সেট A এর শক্তি সেটকে (Power Set) বোঝায়।
শক্তি সেট হলো এমন একটি সেট যার উপাদানগুলো হলো A এর সকল উপসেট।
যদি A এর উপাদান সংখ্যা n হয়, তবে P(A) এর উপাদান সংখ্যা হবে **2ⁿ**।
5. **গণনা:**
A এর উপাদান সংখ্যা = ৬।
অতএব, P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2⁶ = **৬৪**।
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**