ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) 3√5
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণত গণিত ও মানসিক দক্ষতা অংশে সমীকরণ ও বীজগাণিতিক সমস্যাবলি অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই ধরনের সমস্যাগুলো সমাধানে সূত্র প্রয়োগ ও যৌক্তিক বিশ্লেষণের দক্ষতা প্রয়োজন। প্রদত্ত সমীকরণের সাহায্যে (x² – 1/x²) এর মান নির্ণয় একটি সাধারণ বীজগাণিতিক সমস্যা, যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় দেখা যায়।
**প্রদত্ত সমীকরণ সম্পর্কিত তথ্য:**
— প্রদত্ত সমীকরণ: x² – 3x + 1 = 0
— এখানে x একটি চলক যার মান নির্ণয় করা প্রয়োজন নয়, বরং x² – 1/x² এর মান নির্ণয় করতে হবে।
— সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ায় এর মূল দুটি হবে, কিন্তু সরাসরি মূল নির্ণয় না করে সমীকরণের ধর্ম ব্যবহার করে মান নির্ণয় করা যেতে পারে।
**সমাধান পদ্ধতি:**
1. প্রদত্ত সমীকরণ থেকে x² = 3x – 1 পাওয়া যায়।
2. এখন, (x² – 1/x²) = (x – 1/x)(x + 1/x) হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
3. প্রথমে x + 1/x এর মান নির্ণয় করতে হবে:
— x² – 3x + 1 = 0 ⇒ x² + 1 = 3x ⇒ x + 1/x = 3 (উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে)
4. এরপর x – 1/x এর মান নির্ণয় করতে হবে:
— (x – 1/x)² = (x + 1/x)² – 4 = 3² – 4 = 9 – 4 = 5 ⇒ x – 1/x = √5
5. এখন, (x² – 1/x²) = (x – 1/x)(x + 1/x) = √5 × 3 = 3√5
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ (ক) 5√3: এটি ভুল কারণ x + 1/x = 3 এবং x – 1/x = √5 হওয়ায় গুণফল 3√5 হওয়া উচিত, 5√3 নয়।
✗ (গ) 4√5: এটি ভুল কারণ গুণফল নির্ণয়ে ভুল হয়েছে। সঠিক গুণফল 3√5 হওয়া উচিত।
✗ (ঘ) 6√5: এটি ভুল কারণ x + 1/x = 3 এবং x – 1/x = √5 হওয়ায় গুণফল 3√5 হওয়া উচিত, 6√5 নয়।
**উৎস:**
— মাধ্যমিক ও উচ্চ মাধ্যমিক গণিত বই (দ্বাদশ শ্রেণি)
— বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার প্রশ্ন ব্যাংক (গণিত অংশ)
— বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার গণিত গাইডবুক