ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ক) 2 < x < 3
অসমতার সমাধান সম্পর্কিত সাধারণ জ্ঞান ও গণিতের প্রাথমিক ধারণা:
অসমতা (Inequality) হলো এমন একটি গাণিতিক বিবৃতি যেখানে দুইটি রাশির মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করা হয়। সাধারণত অসমতা সমাধানের জন্য রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে তারপর চিহ্ন পরিবর্তনের মাধ্যমে সমাধান করা হয়। এক্ষেত্রে দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের জন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সংখ্যারেখার সাহায্য নেওয়া হয়।
x² – 5x + 6 < 0 অসমতাটির সমাধান সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:
— প্রথমে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে:
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
— উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পর সমীকরণটি দাঁড়ায়: (x – 2)(x – 3) < 0
— অসমতাটির সমাধান করার জন্য সংখ্যারেখায় মূল বিন্দুগুলো চিহ্নিত করতে হবে। এখানে মূল বিন্দু হলো x = 2 এবং x = 3।
— সংখ্যারেখাকে তিনটি অংশে ভাগ করা যায়:
1. x < 2
2. 2 < x < 3
3. x > 3
— এখন প্রতিটি অংশের জন্য অসমতাটির মান পরীক্ষা করতে হবে:
1. যখন x < 2 (যেমন x = 1), তখন (1 – 2)(1 – 3) = (-1)(-2) = 2 > 0 (অসমতা সত্য নয়)
2. যখন 2 < x < 3 (যেমন x = 2.5), তখন (2.5 – 2)(2.5 – 3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 (অসমতা সত্য)
3. যখন x > 3 (যেমন x = 4), তখন (4 – 2)(4 – 3) = (2)(1) = 2 > 0 (অসমতা সত্য নয়)
— অতএব, অসমতাটি সত্য হয় যখন 2 < x < 3।
বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:
✗ খ) -3 < x < -2: এই অসমতাটি মূল অসমতার সমাধান নয়, কারণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে মূল বিন্দু পাওয়া যায় x = 2 এবং x = 3, -3 বা -2 নয়।
✗ গ) x < 2: এই অসমতাটি সত্য নয়, কারণ যখন x < 2 হয়, তখন (x – 2)(x – 3) > 0 হয়।
✗ ঘ) x < 3: এই অসমতাটিও সত্য নয়, কারণ যখন x > 3 হয়, তখন (x – 2)(x – 3) > 0 হয় এবং যখন 2 < x < 3 হয়, তখন অসমতাটি সত্য হয়।
উৎস:
— দ্বিঘাত সমীকরণ ও অসমতা সম্পর্কিত গণিতের প্রাথমিক পাঠ্যপুস্তক (এনসিটিবি কর্তৃক অনুমোদিত)
— সাধারণ গণিত (৯ম-১০ম শ্রেণি) বোর্ড বই
— বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার পূর্ববর্তী বছরের প্রশ্নব্যাংক