ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) 2xy
বিষয় সম্পর্কিত ভূমিকা:
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে সাধারণত বীজগণিতের পূর্ণবর্গ সংক্রান্ত সমস্যা আসে। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য পূর্ণবর্গের সূত্র এবং পদগুলোকে পুনর্বিন্যাস করার দক্ষতা প্রয়োজন। উপরের প্রশ্নটি একটি বহুপদী রাশিকে পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজনীয় পদ নির্ণয়ের সাথে সম্পর্কিত।
**x² – 8x – 8y + 16 + y²** রাশিটিকে বিশ্লেষণ করে পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজনীয় পদ নির্ণয়:
— প্রদত্ত রাশি: **x² – 8x – 8y + 16 + y²**
— পদগুলোকে পুনর্বিন্যাস করলে: **x² – 8x + y² – 8y + 16**
এখন, **x² – 8x** অংশটি পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজন:
**x² – 8x = (x – 4)² – 16**
কারণ, **(x – 4)² = x² – 8x + 16** ⇒ **x² – 8x = (x – 4)² – 16**
আবার, **y² – 8y** অংশটি পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজন:
**y² – 8y = (y – 4)² – 16**
কারণ, **(y – 4)² = y² – 8y + 16** ⇒ **y² – 8y = (y – 4)² – 16**
এখন প্রদত্ত রাশিটিকে পুনর্বিন্যাস করলে:
**x² – 8x + y² – 8y + 16**
= **[(x – 4)² – 16] + [(y – 4)² – 16] + 16**
= **(x – 4)² + (y – 4)² – 16**
এখন, রাশিটিকে পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজন এমন পদ যোগ করতে হবে যেন পুরো রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হয়। এখানে, **(x – 4)² + (y – 4)²** অংশটি ইতোমধ্যে দুটি পূর্ণবর্গের যোগফল। কিন্তু পুরো রাশিটিকে একটি একক পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের এমন পদ যোগ করতে হবে যা দুটি পূর্ণবর্গের যোগফলকে একটি পূর্ণবর্গে পরিণত করে।
এক্ষেত্রে, **2xy** যোগ করলে রাশিটি দাঁড়ায়:
**(x – 4)² + (y – 4)² + 2xy – 16**
এটি একটি পূর্ণবর্গ হবে যদি **2xy** যোগ করার ফলে পুরো রাশিটি **(x + y – 8)²** এর মতো কোনো পূর্ণবর্গ হয়।
এখন, **(x + y – 8)² = x² + y² + 64 + 2xy – 16x – 16y**
আমাদের প্রদত্ত রাশি ছিল **x² + y² – 8x – 8y + 16**
সুতরাং, **(x + y – 8)²** এর সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে, **2xy** যোগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গে পরিণত হয়।
বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:
✗ ক) -2xy: এটি যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে না, বরং নেতিবাচক পদ যোগ হবে যা পূর্ণবর্গ গঠনে বাধা দেয়।
✗ খ) 8xy: এটি যোগ করলে রাশিটি অতিরিক্ত পদ যোগ করবে যা পূর্ণবর্গ গঠনে সহায়ক নয়।
✗ গ) 6xy: