ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) 4
**ভূমিকা:**
বাংলাদেশের সরকারি চাকরির পরীক্ষাগুলোতে গণিত ও সাধারণ জ্ঞানের অংশে বহুপদী বিভাজন (Polynomial Division) সম্পর্কিত প্রশ্ন প্রায়ই আসে। উপরের প্রশ্নটি বহুপদী বিভাজনের একটি সাধারণ উদাহরণ, যেখানে একটি দ্বিঘাত বহুপদীকে একটি একঘাত বহুপদী দ্বারা ভাগ করে অবশিষ্ট নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
**x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট নির্ণয়:**
প্রদত্ত বহুপদী:
f(x) = x³ - x²
ভাজক বহুপদী:
g(x) = x - 2
**বহুপদী বিভাজনের অবশিষ্ট উপপাদ্য অনুসারে:**
যদি কোন বহুপদী f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে অবশিষ্ট হবে f(a)।
এখানে, ভাজক বহুপদী g(x) = x - 2, অর্থাৎ a = 2।
অতএব, অবশিষ্ট = f(2) = (2)³ - (2)² = 8 - 4 = 4।
**বিস্তারিত গণনা:**
1. বহুপদী বিভাজনের নিয়ম অনুসারে:
f(x) = (x - 2) * Q(x) + R
যেখানে Q(x) হল ভাগফল বহুপদী এবং R হল অবশিষ্ট (একটি ধ্রুবক)।
2. অবশিষ্ট উপপাদ্য প্রয়োগ করে:
R = f(2) = 2³ - 2² = 8 - 4 = 4।
3. বিকল্প পদ্ধতি (দীর্ঘ বিভাজন):
- x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে:
- প্রথম ধাপ: x³ ÷ x = x² (ভাগফলের প্রথম পদ)
- দ্বিতীয় ধাপ: x² * (x - 2) = x³ - 2x²
- বিয়োগ করলে: (x³ - x²) - (x³ - 2x²) = x²
- পরবর্তী ধাপ: x² ÷ x = x (ভাগফলের দ্বিতীয় পদ)
- x * (x - 2) = x² - 2x
- বিয়োগ করলে: x² - (x² - 2x) = 2x
- পরবর্তী ধাপ: 2x ÷ x = 2 (ভাগফলের তৃতীয় পদ)
- 2 * (x - 2) = 2x - 4
- বিয়োগ করলে: 2x - (2x - 4) = 4 (অবশিষ্ট)
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ ক) 2: এটি ভুল কারণ অবশিষ্ট নির্ণয়ের সময় গণনা ভুল হলে এমন ফলাফল আসতে পারে, কিন্তু সঠিক গণনা অনুযায়ী এটি সঠিক নয়।
✗ গ) -6: এটি ভুল কারণ অবশিষ্ট উপপাদ্য প্রয়োগ করলে ধনাত্মক 4 পাওয়া যায়, ঋণাত্মক মান আসে না।
✗ ঘ) -8: এটি ভুল কারণ এটি সঠিক গণনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
**উৎস:**
- গণিত বিষয়ক বই: "Higher Algebra" by Hall & Knight
- বিসিএস গণিত প্রশ্নব্যাংক: বিগত বছরের প্রশ্নপত্র বিশ্লেষণ
- সাধারণ গণিত: দ্বিঘাত বহুপদীর বিভাজন পদ্ধতি