সঠিক উত্তর: (ঘ) x²y (x + y)
**বীজগণিতের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) নির্ণয়ের ভূমিকা:**
বীজগণিতে দুই বা ততোধিক বহুপদী সংখ্যার লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হলো এমন ক্ষুদ্রতম বহুপদী যা প্রদত্ত বহুপদীগুলো দ্বারা বিভাজ্য। বহুপদীর ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্য সাধারণত বহুপদীগুলোর সাধারণ উৎপাদক ও সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট উৎপাদকগুলোকে বিবেচনা করা হয়।
**প্রদত্ত বহুপদী দুইটির বিশ্লেষণ:**
প্রদত্ত বহুপদী দুইটি হলো:
1. \( x^3 + x^2y \)
2. \( x^2y + xy^2 \)
**প্রথম বহুপদী বিশ্লেষণ:**
\( x^3 + x^2y = x^2(x + y) \)
— এখানে সাধারণ উৎপাদক হলো \( x^2 \)
— অবশিষ্ট অংশ হলো \( (x + y) \)
**দ্বিতীয় বহুপদী বিশ্লেষণ:**
\( x^2y + xy^2 = xy(x + y) \)
— এখানে সাধারণ উৎপাদক হলো \( xy \)
— অবশিষ্ট অংশ হলো \( (x + y) \)
**ল.সা.গু নির্ণয়:**
ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্য দুই বহুপদীর সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত ও অবশিষ্ট অংশ বিবেচনা করতে হয়।
— সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত হলো \( x^2y \) (প্রথম বহুপদী থেকে \( x^2 \) এবং দ্বিতীয় বহুপদী থেকে \( xy \) এর সর্বোচ্চ ঘাত)
— অবশিষ্ট সাধারণ অংশ হলো \( (x + y) \)
সুতরাং, ল.সা.গু = \( x^2y (x + y) \)
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ **ক) xy**
— এটি প্রদত্ত বহুপদী দুইটির সাধারণ উৎপাদক হলেও সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট নয়। এটি শুধুমাত্র সাধারণ উৎপাদক হিসেবে কাজ করে, ল.সা.গু নয়।
✗ **খ) x + y**
— এটি প্রদত্ত বহুপদী দুইটির সাধারণ অংশ হলেও এটি এককভাবে ল.সা.গু নয়। ল.সা.গু হতে হলে অবশ্যই সাধারণ উৎপাদক ও সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট অংশ থাকতে হবে।
✗ **গ) xy (x + y)**
— এটি প্রদত্ত বহুপদী দুইটির সাধারণ উৎপাদক ও সাধারণ অংশের সমন্বয় হলেও সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক নয়। প্রথম বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক হলো \( x^2 \), যা এখানে বিবেচিত হয়নি।
---
**উৎস:**
1. *বীজগণিত* – ড. দেবেন্দ্রনাথ সেনগুপ্ত (কলেজ গণিত পাঠ্যপুস্তক)
2. *উচ্চ মাধ্যমিক গণিত* – জাতীয় শিক্ষাক্রম ও পাঠ্যপুস্তক বোর্ড (NCTB)
3. *BCS Preliminary Mathematics* – এমপিআই প্রকাশনী