সঠিক উত্তর: (খ) 18√3
গণিতের বীজগণিতীয় রাশিমালা সম্পর্কিত সমস্যা সমাধানে যৌক্তিক পদক্ষেপ গ্রহণের প্রয়োজন হয়। এ ধরনের সমস্যায় প্রদত্ত চলকের মানকে সরলীকরণ করে তার ঘাত বা বিপরীত ঘাতের মান নির্ণয় করতে হয়। এখানে \( x = \sqrt{3} + \sqrt{2} \) দেওয়া হয়েছে এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
\( x^3 + \frac{1}{x^3} \) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে \( x + \frac{1}{x} \) এর মান নির্ণয় করা প্রয়োজন। তারপর তা ব্যবহার করে \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) এর মান নির্ণয় করা যায়।
ধাপ ১: \( x + \frac{1}{x} \) নির্ণয়
\( x = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)
একে মূলদীকরণ করে পাই:
\( \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
অতএব,
\( x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \)
ধাপ ২: \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) নির্ণয়
আমরা জানি,
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) \)
এখানে \( x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3} \)
তাই,
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3(2\sqrt{3}) \)
\( = 8 \times 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \)
\( = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \)
\( = 18\sqrt{3} \)
বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:
✗ ক) 3√2: এটি একটি সরলীকৃত মান যা সঠিক হিসাব অনুসরণ করে পাওয়া যায় না।
✗ গ) 12√3: এটি সঠিক হিসাবের অংশ বিশেষ হতে পারে কিন্তু পুরোপুরি সঠিক নয়।
✗ ঘ) 8: এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা যা মূল হিসাবের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
উৎস:
- গণিতের উচ্চ মাধ্যমিক বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতি বই (এনসিটিবি অনুমোদিত)
- বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষার গণিত প্রশ্ন ব্যাংক (২০১০-২০২৩)
- NTRCA গণিত প্রশ্ন ব্যাংক (সকল সেট)