ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (ঘ) (11,8)
দুই চলকের সমীকরণ সমাধান সম্পর্কিত সাধারণ জ্ঞান:
দুই চলকের সমীকরণ সমাধান করার জন্য সাধারণত প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বা যোগ/বিয়োগ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এখানে প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো:
1. \( x^2 + y^2 = 185 \) (এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে)
2. \( x - y = 3 \) (এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে)
এই দুই সমীকরণের সমাধান হলো সেই বিন্দু যেখানে সরলরেখাটি বৃত্তটিকে ছেদ করে।
\( x^2 + y^2 = 185 \) এবং \( x - y = 3 \) এর সমাধান সম্পর্কে বিস্তারিত তথ্য:
— প্রদত্ত সমীকরণ দুটি সমাধান করার জন্য প্রথমে \( x - y = 3 \) থেকে \( x = y + 3 \) প্রতিস্থাপন করতে হবে।
— তারপর \( x^2 + y^2 = 185 \) এ \( x = y + 3 \) বসিয়ে পাই:
\( (y + 3)^2 + y^2 = 185 \)
\( y^2 + 6y + 9 + y^2 = 185 \)
\( 2y^2 + 6y + 9 = 185 \)
\( 2y^2 + 6y - 176 = 0 \)
\( y^2 + 3y - 88 = 0 \)
— এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হবে:
\( y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 352}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-3 \pm 19}{2} \)
সুতরাং, \( y = \frac{16}{2} = 8 \) অথবা \( y = \frac{-22}{2} = -11 \)
— যদি \( y = 8 \) হয়, তাহলে \( x = y + 3 = 11 \)
— যদি \( y = -11 \) হয়, তাহলে \( x = y + 3 = -8 \)
— সুতরাং, সমাধান দুইটি হলো: \( (11, 8) \) এবং \( (-8, -11) \)
— প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র \( (11, 8) \) রয়েছে।
বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:
✗ ক) (7,4): এই মানগুলো সমীকরণে বসালে \( 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65 \neq 185 \) হয়, তাই এটি ভুল।
✗ খ) (9,6): এই মানগুলো সমীকরণে বসালে \( 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117 \neq 185 \) হয়, তাই এটি ভুল।
✗ গ) (10,7): এই মানগুলো সমীকরণে বসালে \( 10^2 + 7^2 = 100 + 49 = 149 \neq 185 \) হয়, তাই এটি ভুল।
উৎস:
— মাধ্যমিক গণিত বই (দ্বিঘাত সমীকরণ ও দুই চলকের সমীকরণ)
— BCS Preliminary সাধারণ জ্ঞান ও গণিত অংশের প্রশ্নব্যাংক
— NTRCA গণিত প্রশ্নপত্র (সেটসমূহ)