ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (গ) 0
**ভূমিকা:**
বীজগণিতের সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে বহুপদী রাশির মান নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। বিশেষ করে, যখন কোনো সমীকরণে \( x + \frac{1}{x} \) এর মান দেওয়া থাকে, তখন \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) এর মান নির্ণয় করার জন্য নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করা হয়। এ ধরনের সমস্যা বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষা যেমন BCS, NTRCA, Bank এবং Primary শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় প্রায়শই আসে।
---
**\( x^3 + \frac{1}{x^3} \) সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্য:**
— **প্রাথমিক সূত্র:**
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) \)
এই সূত্রটি বহুপদী রাশির মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
— **প্রদত্ত মান:**
\( x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} \)
— **মান নির্ণয়:**
1. প্রদত্ত সূত্রে \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} \) বসিয়ে পাই:
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{3})^3 - 3 \times \sqrt{3} \)
2. \( (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} \)
3. অতএব, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0 \)
— **বিকল্প পদ্ধতি:**
\( x^3 + \frac{1}{x^3} \) কে \( \left( x + \frac{1}{x} \right) \left( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} \right) \) হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
1. \( x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 = (\sqrt{3})^2 - 2 = 3 - 2 = 1 \)
2. অতএব, \( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} = 1 - 1 = 0 \)
3. ফলে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = \sqrt{3} \times 0 = 0 \)
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ **ক) 2**: এই মানটি সঠিক নয় কারণ প্রদত্ত সূত্র অনুযায়ী মান শূন্য হওয়া উচিত।
✗ **খ) 4**: এই মানটি সঠিক নয় কারণ সূত্র প্রয়োগ করলে মান শূন্য পাওয়া যায়।
✗ **ঘ) 6**: এই মানটি সঠিক নয় কারণ সূত্র অনুযায়ী মান শূন্য হওয়া উচিত।
---
**উৎস:**
- গণিতের বহুপদী রাশি বিষয়ক বই (যেমন: *Higher Algebra* by Hall & Knight)
- বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নপত্র (BCS, Bank, NTRCA)
- গণিত বিষয়ক অনলাইন রিসোর্স (যেমন: Khan Academy, Math is Fun)