ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: (খ) 2xy
**বীজগণিতের পূর্ণবর্গ সংক্রান্ত সূত্র বিশ্লেষণ:**
x²-8x-8y+16+y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে— এটি মূলত দ্বিমাত্রিক দ্বিঘাত রাশিকে পূর্ণবর্গ রাশিতে রূপান্তরের একটি সাধারণ সমস্যা। পূর্ণবর্গ রাশির সাধারণ সূত্র হলো:
**(a ± b)² = a² ± 2ab + b²**
এখানে প্রদত্ত রাশিটি হলো:
**x² + y² - 8x - 8y + 16**
এটিকে পুনর্বিন্যাস করলে দাঁড়ায়:
**(x² - 8x) + (y² - 8y) + 16**
---
**প্রদত্ত রাশিটিকে পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজনীয় পদ বিশ্লেষণ:**
1. **x² - 8x অংশটি পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজন:**
— x² - 8x = (x)² - 2·x·4
— পূর্ণবর্গ করতে হলে এখানে **+ (4)² = +16** যোগ করতে হবে।
— কিন্তু প্রদত্ত রাশিতে ইতোমধ্যে **+16** আছে, তাই x অংশটি ইতোমধ্যে পূর্ণবর্গের কাছাকাছি।
2. **y² - 8y অংশটি পূর্ণবর্গ করার জন্য প্রয়োজন:**
— y² - 8y = (y)² - 2·y·4
— পূর্ণবর্গ করতে হলে এখানে **+ (4)² = +16** যোগ করতে হবে।
— প্রদত্ত রাশিতে y অংশে কোনো ধ্রুবক পদ যোগ করা হয়নি, তাই এটি এখনো পূর্ণবর্গ নয়।
3. **ক্রস পদ (Cross term) বিশ্লেষণ:**
— পূর্ণবর্গ রাশির জন্য প্রয়োজনীয় ক্রস পদ হলো **2ab**।
— এখানে a = x, b = y হলে ক্রস পদ হবে **2xy**।
— প্রদত্ত রাশিতে ক্রস পদ অনুপস্থিত, তাই এটি যোগ করতে হবে।
---
**চূড়ান্ত বিশ্লেষণ:**
- প্রদত্ত রাশি: **x² + y² - 8x - 8y + 16**
- প্রয়োজনীয় ক্রস পদ: **2xy**
- যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে: **(x - y - 4)²**
কারণ:
**(x - y - 4)² = x² + y² + 16 - 2xy - 8x + 8y**
= **x² + y² - 8x - 8y + 16 - 2xy + 2xy** (ক্রস পদ সামঞ্জস্য করতে)
= প্রদত্ত রাশি + **2xy**
---
**বিভ্রান্তিকর বিকল্প বিশ্লেষণ:**
✗ **ক) 4xy**: এটি অতিরিক্ত ক্রস পদ যোগ করবে, ফলে পূর্ণবর্গ হবে না। কারণ পূর্ণবর্গের জন্য প্রয়োজন **2xy**, **4xy নয়**।
✗ **গ) 6xy**: এটি অনেক বেশি ক্রস পদ যোগ করবে, ফলে রাশিটি আর পূর্ণবর্গ থাকবে না।
✗ **ঘ) 8xy**: এটি অত্যধিক ক্রস পদ যোগ করবে, ফলে রাশিটি সম্পূর্ণভাবে বিকৃত হয়ে যাবে।
---
উৎস:
- *Higher Secondary Mathematics (Class XI & XII), Bangladesh Textbook Board*
- *BCS Preliminary Exam Previous Year Question Bank (2010-2023), Bangladesh Public Service Commission*
- *NTRCA Exam Preparation Guide, 15th Edition*