K এর কোন মানের জন্য 5x + 4y - 1 = 0 এবং 2x + Ky - 7 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল? (50th BCS)

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল (Parallel) হওয়ার গাণিতিক শর্ত হলো তাদের ঢাল (Slope) সমান হতে হবে। অর্থাৎ m1 = m2। সাধারণ সমীকরণ ax + by + c = 0 এর ঢাল নির্ণয়ের সূত্র হলো: m = -a/b (অর্থাৎ - x এর সহগ / y এর সহগ)। ১ম রেখা: 5x + 4y - 1 = 0; এর ঢাল, m1 = -5/4 ২য় রেখা: 2x + Ky - 7 = 0; এর ঢাল, m2 = -2/K শর্তমতে, m1 = m2 -5/4 = -2/K উভয়পক্ষ থেকে ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ দিয়ে আড়গুণন (Cross-multiplication) করি: 5 × K = 4 × 2 ⇒ 5K = 8 ⇒ K = 8/5 সুতরাং, K এর মান 8/5 হলে রেখাদুটি সমান্তরাল হবে। Source: Coordinate Geometry; Slopes of Parallel Lines.